1.伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想
这个猜想由 Bryan Birch 和 Peter Swinnerton-Dyer 提出，属于数论领域，数论是研究数字性质的数学分支，特别是整数和有理数。
伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想特指某些称为“椭圆曲线”的代数曲线。椭圆曲线是由以下形式的方程定义的曲线：
y^2=x^3+ax+b
有理数上的椭圆曲线的“点群”（即上述方程的解集 (x, y)，其中 x 和 y 是有理数，以及无穷大点）具有非常有趣的代数结构。 。
该猜想在椭圆曲线的两个方面之间建立了深刻的关系：
理性解决方案的数量。椭圆曲线方程有理解集的性质（有限或无限）。
泰特-沙法列维奇群阶，与椭圆曲线的某些上同调性质相关，特别是泰特-沙法列维奇群阶，它是一个以某种方式测量“障碍”的对象，以对所有有理解进行明确的描述。
更准确地说，该猜想预测，当且仅当其点组的“秩”为正时，椭圆曲线具有无限多个有理点（解）。此外，该范围将等于 s=1 时曲线的 L 函数的阶数，它是使用复数论和复分析定义的关联对象。
伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想仍然是一个开放猜想，它的解决将代表着理解椭圆曲线性质以及更普遍的数论性质的重大进步。
2.霍奇猜想
在数学中，尤其是代数拓扑和代数几何中， 霍奇猜想是关于复数域上的平滑射影代数簇（由多项式方程定义的几何对象）上的循环类（代数子流形）的陈述。
更具体地说，霍奇猜想预测这些流形上的某些类别的上同调（一种“测量”拓扑性质的方法），通过它们对复数系数的上同调的作用来检测，实际上由代数循环的类别表示（即，加权代数子流形之和）。
该猜想的精确表述是相当技术性的，需要对数学的几个分支有深刻的理解，包括代数拓扑和代数几何。
尽管有技术表述，解决霍奇猜想将产生深远的影响，并提供对代数簇的拓扑和几何之间关系的更深入的理解，代数簇是现代数学研究的中心对象。
直到今天，霍奇猜想仍然是一个深入研究的领域。
3.庞加莱猜想（已解答）
4. 杨-米尔斯猜想的存在性和质量间隙
杨-米尔斯理论是物理学的基础理论，特别是在粒子物理学领域。下面我从两个主要方面来描述这个问题：
1. 存在
问题的第一个组成部分是从数学上证明杨-米尔斯方程允许满足某些所需属性的解。这些解将是根据量子力学定律起作用的杨-米尔斯场的量子态。
2. 质量间隙
问题的第二个组成部分是证明这些最初在没有“质量间隙”的情况下提出的理论（即理论中存在质量为零的粒子），实际上在其能谱中表现出质量间隙；也就是说，与场相关的基本粒子具有最小的正质量。这种现象是粒子物理学的基础，也是粒子物理学标准模型的核心。
数学问题的精确形式化是相当技术性的。基本上，要求证明在某些条件下存在质量间隙：杨-米尔斯场的量子振荡能量存在一个正的最小值。
这个问题至今仍未解决。解决这个问题将代表数学和理论物理学的重大进步，更深入地将这两个学科结合起来，并提供对宇宙基本性质的更深入的理解。
5.纳维-斯托克斯问题的存在性和光滑性
纳维-斯托克斯方程是一组描述流体（液体和气体）运动的偏微分方程。这些方程是流体力学领域的基础，并且在物理和工程中具有广泛的应用。
纳维-斯托克斯方程解的存在性和平滑性问题是七大“千年难题”之一，若能解决该问题，将悬赏一百万美元。
问题可以表述如下：
存在性：是指在给定一定的初始条件和边界条件的情况下，证明纳维-斯托克斯方程总有解。
平滑性：指证明如果存在解，它们始终是平滑的（即，它们具有连续导数），或者确定奇点可以发展的条件（解不再平滑的点）。
因此，整个问题是要证明，在给定初始和边界条件的情况下，纳维-斯托克斯方程的解是否存在并且始终平滑，或者找到一组使解在有限时间内出现奇点的条件。 。
这个问题仍然是数学和物理学的最大谜团之一，迄今为止尚未得到解决。
6.黎曼猜想
黎曼猜想是数学领域，尤其是数论领域最著名、最长寿的猜想之一。它由伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann) 于 1859 年首次提出，是七大“千年难题”之一，克莱数学研究所为此向任何能够解决该问题或提供明确证明的人提供百万美元的奖金。
该假设涉及黎曼 zeta 函数的零点，黎曼 zeta 函数是为复数定义的复函数。黎曼 zeta 函数表示为 ζ(s)，（最初）针对实部大于 1 的复数 s 通过无穷级数定义：
δ(s)=1(−s)+2(−s)+3(−s)+4(−s)+…
黎曼假设假设该函数的所有非平凡零点的实部都等于 1/2。也就是说，如果 s=a+bi （其中 a 和 i 是实数，i 是虚数单位）是函数 z(s) 的非平凡零，因此 一=1/2
该假设在数论中具有深远的意义，特别是在素数的分布方面，因为它与素数计数函数密切相关， π(x) 它计算小于或等于的素数的数量 x
黎曼猜想尚未被证明或反驳。解决这个问题将是数学领域的一项里程碑式的成就。